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  基于灰色系統理論的多目標動態優化設計

5.1引言

隨著生產和科學技術的高速發展，機械產品與設備逐漸向高速、高效、精密、輕量化和自動化方向發展，產品結構的日趨復雜，對其工作性能的要求越來越高。在現代機械設計中，為設計出高性能的機械產品，需對機械的結構、可靠性及動態特性等多方面性能進行綜合評價。而傳統的單一靜態設計己經不能滿足生產對機械產品動態性能的要求。因此，為使機械結構系統同時具有良好的靜、動態特性，必須對其進行多目標動態優化設計。
對于復雜機械產品動態優化設計，人們力求采用數學規劃法，即由計算機自動完成結構系統分析的優化過程，以便在設計階段即可獲得具有良好動態特性的設計方案。而其中關鍵性的問題是如何建立動態性能目標函數。因為從數學原理上看，機械結構振動系統的設計變量與其動態特性參數之間是一種高度非線性的映射關系，無法用一個簡單的數學函數來表示，因此其目標函數很難建立。人工神經網絡是一門近代發展的新興學科,它具有極強的非線性映射功能，是一種描述和處理非線性關系的有力數學工具。因此，可以利用神經網絡模型建立動態性能目標函數，實現機械系統設計變量與其動態特性參數之間的映射，解決動態性能目標函數難以建立的難題，這樣就能夠利用數學規劃法自動地實現動態優化設計。
在多目標動態優化設計中，同時使幾個分目標都達到最優值，一般來說是比較困難的。目標函數之間關系復雜，甚至相互矛盾，往往由于一個分目標的極小化而引起另一個或幾個分目標的最優值變壞。也就是說，各分目標在求極小化過程中是相互矛盾的，所以人們只能求得一些滿意解，絕對最優解一般是不存在的。而這些滿意解中的任意兩個解不一定能比較其優劣，因此多目標的解是半有序的。灰色聚類分析方法提供了尋求多目標優化問題的最滿意解的一個有效途徑，該方法比其他求解最滿意解的方法更具有理論依據和合理性，且方法實用性強，滿意程度可由欲望水平確定，能排列出滿意解的優劣次序，為決策提供了更趨于實際的方法和依據。
根據以上思想，本文利用BP神經網絡訓練動態性能目標函數，并在此基礎上，應用灰色聚類分析方法對圓柱正弦活齒減速器系統進行了多目標動態優化設計。利用該方法獲得了具有良好靜、動態特性的設計方案，較傳統的多目標優化設計方法，得到進一步的優化。

5.2 BP神經網絡

5.2.1 BP神經網絡概述
BP神經網絡是一單向傳播的多層前向神經網絡，網絡除輸入輸出節點外，還有一層或多層的隱含層節點，輸入信號從輸入層節點依次傳過隱含層節點，然后通過輸出層節點輸出。同層節點間沒有任何耦合，故每層節點的輸出只影響下一層節點的輸出。每個節點表示單個神經元，隱含層蘿點對應的傳遞函數常為sigmofd型函數，輸出層節點對應的傳遞函數有時為線性。1987年RobertHecht-Nielson證明了對于任何在閉區間內的一個連續函數都可以用具有一個隱含層的BP網絡來逼近，因而一個三層的BP網絡可以完成任意的n維到m維的映射。常見的三層BP神經網絡結構如圖5-1所示，其最下層稱為輸入層，中間層稱為隱含層，最上層稱為輸出層。

三層前饋型BP網絡采用BP算法來調整網絡連接權值和節點閾值。BP算法，即誤差逆傳播學習方法，是一種曲型的誤差修正方法。BP算法是一個種有教師的學習算法，整個網絡學習過程由信息的正向傳動播和誤差的反向傳播兩上階段構成，在正向傳播的過程中，輸入信息從輸入層經隱含層逐層處理，并傳向輸出層，如果不能在輸出層得到期望的輸出，則轉入反向傳播，運用梯度下降法連接權關于誤差函數的導數沿原來的連接通路返回，通過修改各層的權值使得誤差函數減小，直到達到收斂為止。神經網絡練過程如圖5-2所示。

5.2.2應用Matlab神經網絡工具箱訓練BP神經網絡

Matlab神經網絡工具箱是以人工神經網絡理論為基礎，用Matlab語言構造出典型神經網絡的激活函數，使設計者對所選定網絡輸出的計算變成對激活函數的調用。另外，根據各種典型的修正網絡權值的規則及網絡的訓練過程，在Matlab神經網絡工具箱中編寫好了各種網絡設計與訓練的子程序，設計者可根據自己的需要調用這些程序進行網絡的訓練，擺脫了每繁瑣的編程過程，使精力全總值訂中在問題的解決方法上，從而提高了工作效率和質量。應用Matlab神經網絡工具箱進行BP神經網絡訓練，具體過程如下：

（1）用小的隨機數對每一層的的權值w_i和閾值b_i初始化，以保證網絡不被大的加權輸入飽和，同時還要進行以下參數的設定或初始化：期望誤差最小值err_goal、最大循環次數max_epoch、修正權值的學習速度l_r等；

（2）計算網絡各層輸出矢量A_1­、A₂，以及網絡誤差E

式中   A_1­——隱含層矢量；

A₂——輸出層矢量；

P——樣本輸入值；

T——樣本輸出值；

A——網絡輸出值。

（3）計算各層反向傳播的誤差變化D₁、D₂，并計算各層權值的修正值及新的權值：

（4）再次計算權值修正后的誤差平方和：

       SSE=sumsqr （T-pruelin（w₂*tansig（w₁*P，b₁），b₂））         （5-3）

（5）檢查SSE是否小于err_goal，若是，則訓練結束；否則繼續。

5.3灰色系統理論

5.3.1灰數

只知道大概的范圍而不知道其確切值的數叫做灰數。灰數并不是一個數，而是一個數的區間，記為 。設a為區間，a_i為a中的數，如果灰數 區間內取值，稱a_i為 的一個可能白化值。為此，下列符號表示：

為一般灰數；
（a_i）為以a_i為白化值的灰數；
或 （a_i）是灰數 的白化值，有時也用a_i表示 （a_i）的白化數。

5.3.2白化權函數
屬于某個區間的灰數 ，在該區間內取值時，如果每一個數的取值機會相等，那么這個灰數稱之為純灰數或絕對灰數，如深取值機會不相等，那么稱這個灰數為相對灰數。由于任何一個 （x）都是圍繞某個x組成的，因此認為x在 （x）中的地位最重要，權最大，而 （x）中的其他值，則不一定是最重要的，權不一定都有一樣大。如果用f(x）表示 （x）上不同x的權，則稱廠（x）為  (x）的白化權函數。
設有如圖5-3所示的白化權函數f(x),f(x）E =[0,l]，如果滿足

(l)f(x)=L(x)，單調增，xE （a,b_l)
(2)f(x)=R(x)，單調降，x E（b₂，c)
(3)f(x)==max=1（峰值）,xE ［b₁，b₂］

則f(x）稱為典型白化權函數，稱L(x）為左增函數，R(x）為右降函數，稱叭，[b₁，b₂]為峰區。峰區表示灰量x的最佳程度，即權為1，稱a為起點，c為終點，b₁、b₂為轉折點，其值稱為轉折值或閾值。
白化權函數的確定，是指函數形狀、函數起點和終點的確定。白化權函數的形狀是指L(x）與R(x）的形狀。當已知較少的信息時可建立直線型白化權函數。而當已知信息較多時可以選用曲線型白化權函數，曲線形式包括正態函數曲線、威布爾函數曲線、對數正態函數曲線等。
5.3.3灰色聚類
灰色聚類是建立在灰數的白化權函數生成的基礎上。它將聚類對象對于不同的聚類指標所擁有的白化數，按幾個灰類進行歸納，以判斷該聚類對象屬于那一類。

記I、Ⅱ、Ⅲ、…為聚類對象，i=1，2，…，n；

記l^#、2^＃、3^＃、…為聚類指標，j=1，2，…，m；

記l、2、3、…為聚類灰類，即灰類，k=l,2，…，n₁；
記d_ij，i=l,2，…，n，j=l,2，…，m，為第i個聚類對象對第j個聚類指標所擁有的白化數據（樣本）；
記f_jk（d_ij）,i=1,2,，…，n，j=1,2，…，m,k=l,2，…，n，為第j個指標對于第個k灰類的白化權函數。
5.3.4熟灰色聚類分析在多目標優化設計中的應用
多目標模糊優化問題是要求在優化設計的同時有多個指標達到滿意值，其數學模型為

求x=(x₁,x₂，…，x_n）^T
使min f₁（x)
min f₂（x)

…

minf_m（x）

s.t.  g_j（x）≤0（j=1，2，…，j）

對于式（5-4)，若存在x^*使f₁（x)，f₂（x)，…，f_m(x）全部達到最小，則稱x^*為理想解。在多目標優化設計中，由于目標函數間相互制約，往往得不到理想解，而滿意解也不止一個，因此定義最接近理想解的滿意解為最滿意解。應用灰色聚類分析方法求解多目標優化設計中的最滿意解，具體步驟如下所示：

2.求轉換樣本矩陣  即象矩陣  由于指標不同，要求不同，因此有必要按上限效果測度、下限效果測度、中心效果測度來統一樣本。當指標要求“越大越好”時，可用上限效果測度，記統一后的樣本為d_ij，則有

當指標要求“越小越好”時，可用下限效果測度，即

當指標為適度的規格，即規格太高太低都不舍適時，采用中心效果測度，即

將樣本轉換后，得到轉換后的樣本矩陣

3.確定閾值及其矩陣  閾值即為轉折點值，可按某種規則取得，也可按照經驗或類比的方法獲得，或直接從角矩陣中獲得相對閾值，即在象矩陣中尋找最大、最小、中等閾值，方法如下：

如果認為灰類或評估類別取“1”、“2”、“3”三級合適，考慮綜合評價權重的相對閾值的取值方法。由取矩陣

A=[P₁d（max），P₂d（mean），P₃d"（min）]                     （5-11）

式中  一般取P₁=0.80，P₂=1.0，P₃=1.20。

4.進行灰色聚類  對象矩陣進行聚類，聚類類別選為“1”、“2”、“3”三類時，其白化權函數分別與式（5-12）～（5-14）和圖5-4對應。

①灰類 E[x₂，∞]

 

②灰類E [x₁、x₂、x₃]

則第j個指標屬于第k個灰類的標致定聚類權η_jk為

式中   λ_jk——ƒ_jk的閾值，與相應x₁、x₂、x₃的對應。

所有指標的第i個聚類對象對于第k個灰類的聚類系數σ_ik­

將聚類系靈敏矩陣σ進行歸一化處理得到歸一化矩陣σ_c

5.求最滿意解  設定

      W=σ_c×A_T=（W₁，W₂，…，W_n）^T                                 （5-17）

 

W₁，W₂，…，W_n分別對應F₁，F₂，…，F_n的綜合評分值，值最大者為最滿意解。

求解多目標優化問題最滿意解的程序框圖如圖5-5所示。

5.4減速器的多目標動態優化設計

5.4.1設計變量

根據圓柱正弦活齒減速器的結構和優化的目標來確定設計變量，有關設計變量共為7個，分別為：主動軸參與嚙合軸段半徑r_l、活齒半徑r、導架參與嚙合軸段壁厚b₂、滾道深度b、空間正弦軌跡曲線幅值A、主動軸參與嚙合軸段軸長l₁、導架參與嚙合軸段軸長l₂。則設計變量為

    x=[x₁，x₂,x₃,x₄,x₅,x₆,x₇]=［r₁，r,b₂,b,A，l₁，l₂]                  （5-18）

各設計變量的含義見圖5-6。

 

5.4.2目標函數
5.4.2.1分目標函數的確定本課題研究的目的是為設計出結構緊湊、徑向尺寸小、傳動效率高、可靠性高、動態性能好的新型圓柱正弦活齒減速器，并以此為依據來確定多目標優化設計的目標函數。
為使設計出的減速器適應工況要求，在傳動比一定，滿足傳遞扭矩的前提下，減速器的徑向尺寸V應盡量減小，因此首先將減速器的徑向尺寸最小科：為多目標優化的目標函數之一。即

    ƒ₁（x）=min（V）=min（x₁+2x₂-x₄）                          （5-19）

嚙合副的滑動率U是影響齒輪傳動效率的一個重要因素，為降低嚙合副間的磨損，提高傳動效率，將滑動率最小也作為多目標優化中的目標函數之一。即

                     ƒ₂（x）=min（U）                        （5-20）
接觸副間的疲勞點蝕是傳動的主要失效形式，為了提高傳動的可靠性，提高工作壽命，將活齒傳動接觸強度的可靠性最大作為目標函數之一。在圓柱正弦活齒傳動中，活齒分別與主動軸、導架、殼體接觸，各嚙合副接觸強度的可靠性分別為R_l,R₂,R₃，則選取三者中可靠性最低的接觸副作為優化目標R，即R=min{ R_l,R₂,R₃}，并使R的可靠度達到極大值，為使各目標函數統一目際測度，故選取目標函數為使三者中可靠性最低的接觸副的失效率最低，也即
ƒ₃（x）=min（1-R）=min（1-min{ R_l,R₂,R₃}）                    （5-21）

為使減速器系統具有良好的動態性能，應使系統各階模態柔度比較均勻，特別是危險模態的動柔度要盡可能小，設減速器系統的各階模態柔度值為A（i=1,2,3)，通常可將這三階的模態柔度值作為分目標函數，由于減速器的二階模態柔度較其它階的值要大得多，所以僅取max{A₁}作為目標函數，并使其達到極小值，也即分目標函數為
ƒ₄（x）=min（max{A₁，A₂，A₃}）                          （5-22）

為滿足各階模態柔度盡可能均勻的要求，可建立另一分目標函數為

ƒ₅（x）=                               （5-23）

式中A_v——三階模態柔度的均值（rad·（N·mm）^-1）

綜上所述，為設計出高性能的圓柱正弦活齒減速器，需對其進行多目標動態優化設計，優化目標為使減速器體積、嚙合副間滑動率、危險模態的動柔度達到極小值，嚙合副接觸強度的可靠度達到極大值，并使系統各階模態柔度盡可能均勻。由此可見，分目標函數共為5個：
ƒ={ƒ₁（x），ƒ₂（x），ƒ₃（x），ƒ₄（x），ƒ₅（x）}              （5-24）

5.4.2.2神經網絡訓練樣本和權值的確定

在圓柱正弦活齒減速器的多目標優化設計中，優化目標ƒ₄（x）、ƒ₅（x）的函數值是經過系統動態分析直接得到的，體現了機械結構振動系統的設計變量與其動態特性參數之間的關系，是一種高度非線性的映射關系，因此無法用一個簡單的數學函數來表示。本文采用神經網絡實現機械系統設計變量與其動態特性參數之間的映射，并利用該神經網絡模型建立新的分目標函數 、 （x)。為了能夠提供訓練樣本，在第4章我們建立了圓柱正弦活齒減速器的動力學分析模型，并對其進行了動態特性分析，具體步驟這里不再贅述。分別利用神經網絡對優化目標函數f₄(x）、f₅（x）進行函數逼近，現以f₄（x）為例說明神經網絡建立和訓練的過程。
將上述的設計變量作為BP向絡的輸入量，代入計算f₄（x）的程序中得到最大模態柔度值作為網絡的教師樣本，通過不斷改變設計變量的值可以得到多組設計變量與最大模態柔度值之間映射的樣本，在這里選取38組映射作為神經網絡訓練樣本。由于系統有7個設計變量，因此可以建立一個輸入層7個節點，隱含層7個節點，輸出層1個節點的三層BP神經網絡模型。有了訓練樣本和網絡模型后，就可以利用Matlab中的神經網絡工具箱進行訓練，以便得到設計變量與最大模態柔度之間的精確映射關系。
進行動態優化時，若要建立起目標函數，首先要獲得一組能夠精確計算f₄（x）的權值，這就需要通過樣本訓練BP神經網絡，當誤差精度達到要求時，訓練停止，并得到了該組權值，利用該組權值與設計變量通過三層BP網絡可以計算出訓練后的分目標函數值f₄（x）。在訓練神經網絡時，學習速率取為0.01，動量常數取為0.9，目標誤差取為l×10^-16。當訓練結束時，網絡輸出值與樣本目標值之間的誤差均方根值為8.8386×l0^-17（見圖5-7)，訓練過程誤差的變化情況及訓練完成后網絡輸出值與樣本目標值對比情況如圖5-8所示。

以同樣的方法對f₅（x）進行神經網絡訓練，目標誤差取為1×10^-6，網絡輸出值與樣本目標值之間的誤差均方根值為9.7271×10^-7（見圖5-9），訓練過程誤差變化情況及訓練完成后網絡輸出值與樣本目標值對比情況如圖5-10所示。

在建立神經網絡模型過程中，需要注意以下幾方面的問題：
1.輸入參數的選擇  輸入參數選擇的正確與否是神經網絡建模的關鍵，若輸入參數太多，將會影響建模的效率，若輸入不足，又會影響建模精度。本文經過對圓柱正弦活齒減速器各設計變量的仔細分析，選出其中的7個變量作為神經網絡模型的輸入參數。
2.訓練樣本的選擇  如何在整個設計空間選擇樣本才能使建立起來的網絡模型具有全局性，即解決樣本泛化問題，是神經網絡理論中一個有待深入研究的問題，它直接影響到神經網絡模型的精度與實用性。本文在各設計變量允許的范圍內，選取了38個訓練樣本。
3.隱層節點數的選擇  選用隱層節點數的多少關系到網絡建模的成敗，隱層節點的數目與所選取的訓練樣本空間有關，隱層節點數太少，網絡難以處理較夏雜的問題，并且會使網絡建模誤差增大，但若隱層節點數太多，將使網絡訓練時間急劇增加，又會影響訓練速度。本文在訓練神經網絡過程中，經過反復嘗試后認為選取7個隱層節點數時訓練效果最好。
4.學習速率的選擇  學習速率的大小對算法的收斂特性有很大的影響。若取值太大，會出現算法不收斂。若學習速率選擇太小，會使訓練過程時間大大增加，影響計算效率。一般選擇為0.01～0.1，本文根據訓練過程中梯度變化和均方誤差變化值，選取學習速率為O.01。

5.4.3模糊約束條件
5.4.3.1約束條件的確定  考慮從完全許用到完全不許用的中介過渡過程，把活齒傳動的接觸強度和扭轉剛度等性能約束，嚙合角、不頂切條件等幾何約束，各設計變量的上下限約束等的取值范圍，均視為設計空間上的模糊子集，于是得到如下的約束條件：
(l）為避免活齒接觸副間發生疲勞點蝕等失效形式，活齒嚙合副間的接觸應力應小于接觸疲勞強度許用應力，其中各嚙合副接觸應力的計算公式見式(3-l)，即

                               （5-25）

(2）為保證傳動軸在扭轉時具有足夠的強度，必須使其最大的工作剪應力，不超過材料的許用剪應力，在圓柱正弦活齒減速器的傳動軸中，導架的空心軸段部分是最為薄弱的環節，則其扭轉的強度條件應滿足：

（5-26）

式中    T——輸出扭矩（N·mm）；

W_n——抗扭截面系數W_n= （D⁴-d⁴）；

D——導架空心軸段部分外徑（mm）；

d——導架空習軸段部分內徑（mm）。

(3）一般機械設備中的傳動軸除了要求具有足夠的強度外，往往還要求其變形限制在一定的范圍內，即要求傳動軸要具有一定的剛度，也就是軸最大單位長度的扭轉角不能超過軸單位長度許用扭轉角，則導架扭轉的剛度條件為：

 （5-27）

式中    I_P——截面極慣矩I_P= ；

GI_P——抗扭剛度（N·m）。

(4）在設計圓柱正弦活齒傳動的滾道的結構尺寸時，為保證接觸副間正確的傳力，需考慮在傳遞扭矩一定的前提下，滾道的深度應滿足活齒嚙合副間接觸力的最大嚙合角的限制，即

（5）為滿足活齒傳動正確連續傳動的條件，正弦滾道齒形必須保證不發生頂切，即

（6）設計變量上下界約束為

5.4.3.2隸屬函數及容差的確定  模糊約束的隸屬函數，應根據約束的性質來具體確定，為簡便計算，本文均采用線性嫦娥屬函數，對于性能約束采用的隸屬函數形式為

式中 ——模糊約束過渡區間上下限。

無論選擇何種形式的隸屬函數，都需要確定模糊過渡區間的上、下界。為此，首先需要確定過渡區間的容差。所謂容差，即為過渡區間的總長度，實際上就是約束限制的容許偏差。確定容差的方法有概率分析法、模糊綜合評判法、擴增系數法等。前兩種方法需要有足夠的統計分析資料，工程中常用的是擴增系數法。擴增系數法是在充分考慮以往普通設計規范和設計經驗的基礎上，通過引入擴增系數β（包括上增擴系數β和下增擴系數β）來確定過渡區間上、下界的一種方法。
通常選取 =1.05～1.30，β=0.7～0.95。
5.4.3.3最優水平截集的確定  采用最優水平截集法來實現從模糊優化模型向普通優化模型的轉化。當我們規定某一隸屬度λ（O≤λ≤1）值的時候，就由模糊集合分解出一個普通的集合，將模糊優化問題轉化為普通優化問題處理；而一系列不同的λ的普通集合又對應一個模糊集合。因此，λ截集是溝通普通集合與模糊集合的橋梁。λ取值越大，設計結果越可靠，λ取值越小，設計結果越經濟，所以在[O,l]區間內存在一個最佳的λ^*值，使設計結果既經濟又可靠，尋求最優λ^*截集，是實現模糊優化設計向普通優化設計轉化的關鍵。本文采用二級模糊綜合評判的方法求解λ^*，分別建立備擇集、因素集、因素權重集、因素等級權重集，并確定評判數學模型，由此計算出最優置信水平λ^*。

下面給出采用二級模糊綜合評判法的具體步驟。
1.確定因素集  采用二級模糊綜合評判確定最優水平值λ^*。將模糊優化模型轉化為最優水平截集上的常規優化模型。影響λ^*取值的因素、因素等級及其隸屬度見表5-1。隸屬度可以采用模糊統計法或由專家打分法確定，本文采用專家打分法。
2.確定備擇集  備擇集是以評判者對評判對象可能做出的各種總的評價結果為元素組成的集合。本設計的評判對象是水平截集λ，其取值區間范圍是[0,1]區間。根據設計條件及要求，分別以兄的各離散值作為評判對象，因此取備擇集為
λ={0.30,0.40,0.50,0.60,0.65,0.70,0.75,0.80,0.85,0.90}            (5-33)

3.確定因素權重集及因素等級權重集  不同的因素相對于評判對象的重要程度不同，為準確反映各因素及因素等級對評判對象λ的影響，應賦予各因素及因素等級相應的權重W和w_i。在模糊綜合評判過程中，權數的確定非常重要。根據各設計條件，確定因素權重集W為
W={0.25,0,30,0.20,0.10,0.10,0.05}                                  (5-34)

表5-1影響因素等級及其隸屬度

根據表5-1可分別計算得到各因素等級的權重集W_i

W₁={0.476，0.381，0.143，0，0}；

W₂={0.455，0.318，0.227，0，0}；

W_3­­={0.500，0.400，0.100，0，0}；

W₄={0，0，0.217，0.348，0.435}；                              （5-35）

W₅={0，0，0.208，0.375，0.417}；

W₆={0，0，0.213，0.362，0.425}。

4.進行一級模糊綜合評判  一級模糊綜合評判即單因素評判，它通過綜合一個因素的各個等級對評判對象取值的影響來處理因素的模糊性。根據各因素等級次序對評判對象λ的影響，確定各因素的等級評判矩陣R_i（i=1，2，…，6）。以μ₁（設計水平）為例，其等級評判矩陣R₁確定為

（5--36）

R₁的含義為：當設計水平高時，λ截集水平取低值，表現為對評判對象λ的隸屬度由大到小，即設計參數許用范圍可稍大；反之，設計水平低，λ截集水平取高值。采用M（·，+）合成運算模型，分別對第i個因素作一級綜合評判，該模型按照普通矩陣乘法計算，能保留一部有用信息，可以全面考慮各個因素的影響以及各單因素的評判結果，得一級模糊綜合評判集B_i=W_i R_i。由B_i（i=1，2，…，6）構成二級模糊綜合評判矩陣R。以計算B₁為例

B₁=ω₁ R₁=[b₁，b₂，b₃，b₄，b₅，b₆，b₇，b₈，b₉，b₁₀]

=[0.757，0.814，0.786，0.681，0.538，0.381，0.243，0.138，0.043，0.014]       （5-37）

式中  b_j=

5.進行二級模糊綜合評判   進行二級模糊綜合評判，首先確定綜合模糊變換矩陣R

（5.38）

綜合考慮各因素的影響，利用模糊變換矩陣，采用M（·，+）合成運算模型，得到二級模糊綜合評判的總的評判結果為
B＝W R=(0.591,0.654,0.674,0.651,0.583,0.502,0.407,0.314,0.231,0.183)

6.確定最終評判結果  采用加權平均法，取以b_i為權數，對各個備擇元素凡進行加權平均的值作為評判的結果，即

結合前面計算結果，利用式（5-39)，求出最優水平截集λ^*=0.5875。從而將模糊優化問題轉化為常規優化問題。

5.4.4基于灰色聚類分析的減速器多目標優化設計
在圓柱正弦活齒傳動系統的多目標優化設計中，應用灰色聚類分析方法，在多個滿意解之間求解出一個最滿意解。因此，首先必須求解出幾組多目標優化的滿意解。由于選取滿意解的出發點不同，從而導致不同的決策方法。在機械多目標優化設計中常用的解法有：主要目標法、理想點法、線性加權組合法、平方加權組合法、乘除法及功效系數法等。本文采用主要目標法求解多目標優化的滿意解。
主要目標法即保留設計者認為最重要的目標函數，將其余的目標函數降為約束條件的方法。例如，若設f₁（x）為主要目標，則優化數學模型變為

求x=（x₁，x₂，…，x_n)^T
使minf₁（x)                                               (5-40)

s.t  g_j（x）≤0（j=1，2，…，J）

g_j（x）=[f₁（x）- ]≤0   i=2，…，I

式中   ——原問題第i個目標函數的上限值（i=2，…，I）。

本文中分別以各分目標函數作為主要目標，將其它分目標函數作為約束條件，應用Matlab工程軟件中的優化工具箱進行單目標優化，可分別得到5組優化設計的滿意解，加上優化前的初選設計參數x=（20.5，4，3，2，4，24，64）^T，則所有滿意解圓整后如下所示

x^（1）=（18，5，3，3，3，5，22，68）^T

x^（2）=（18.5，5，5，2，4，22，68）^T

x^（3）=（20.5，5，5，2，4，5，22，68）^T

x^（4）=（20.5，4，3，2，4，24，64）^T

x^（5）=（22，5，3，3，4，22，68）^T

x^（6）=（22.5，5，4，3，2，3.5，22，68）^T

下面將利灰色聚類分析方法，在6組滿意解中求解出一個最滿意解。將每組滿意解分別代入分目標函數中，得到樣本矩陣為

 （5-41）

轉換樣本矩陣，對所有目標采用下限效果測度，根據式（5-7）得到象矩陣為

 （5-42）

根據式（5-10），在象矩陣中尋找最大、最小、中等的閾值，得到d（max）=1；d（mean）=0.7949；d"（min）=0.1704。因此取綜合評價權重的相對閾值為A=（1.0，0.8，0.2）。

對象矩陣進行聚類，聚類類別選為“1”、“2”、“3”三類，其白化函九分別與式（5-12）～（5-14）和圖5-4對應。現以f₁為例，說明求得白化函數閾值的方法。對應象矩陣中的第一列，d（max）=1；d（mean）=0.917，取0.9，d（min）=0.8621，取0.86。因此，對于灰類1，有x₁=0，x₂=1；對于灰類2，有x₁=0，x₂=0.9，x₃=2×x₂=1.8；對于灰類3，有x₁=0.86，x₃=2×x₁=1.72。同理可求出其余各分目標各類白化權的閾值，代入式（5-12）～（5-14）中求出各類白化權函數及其值。按式（5-15）求出標定聚類權矩陣η

（5-43）

    將η_jk代入式（5-16），求出聚類系數矩陣σ

（5-44）

對σ進行歸一化處理得到歸一化矩陣σ_c

（5-45）

將數值代入式（5-17）中得到

W=（W₁，W₂，W₃，W₄，W₅，W₆，）^T

=（0.6453，0.6744，0.7073，0.6344，0.7032，0.6221）^T                （5-46）

由式（5-46）可見，W₃=0.7037最大，則其對應的解為最滿意解。也即

x^*=(20.5,5,5,2,4.5,22,68）^T

且滿意解的優劣次序為F₃，F₅，F₂，F₁，F₄，F₆。

為了驗證優化后的結構方案是否優于原設計方案，將優化前、后減速器靜、動態特性指標作出對比如表5-2所示。

表5-2優化前后減速器性能對比

	徑向尺寸 (mm)	主動軸接觸強度 可靠度	殼體接觸強度 可靠度	導架接觸強度 可靠度
優化前	26.5	0.9744	0.9781	0.9145
優化后	28.5	0.9992608	0.9999511	0.998002
	滑動率	最大模態柔度 ×10-6（rad/(N·mm))	模態柔度均度	基頻 (Hz)
優化前	0.6341	1.78412	3.4316	644.357
優化后	0.6398	1.33922	3.1288	726.257

對表5-2分析可知，優化后的減速器設計方案除徑向尺寸和滑動率兩項指標外，其它性能指標均優越于優化前的設計方案，特別在可靠性和動態特性方面得到較大的優化。通過與原設計方案比較可以發現，減速器主動軸、導架及殼體接觸疲勞強度的可靠度均有了很大的提高；系統的二階危險模態柔度從l.78412×l0^-6rad/（N·mm）降低到優化后的1.33922×l0^-6rad／（N·mm)，模態柔度均度從3.4316降低到優化后的3.1288，說明各階模態柔度的分布更為均勻。此外，優化后的系統基頻有了很大的提高，由原來644.357Hz提高到726.257Hz，其激勵頻率為25Hz，可見，優化后結構的振動水平比原設計方案得到了相當大的改善。

5.5本章小結

1.基于BP神經網絡的高度非線性映射功能，利用第4章所建立起來的動力學分析模型，獲得了38組結構設計變量和對應的動態特性參數的神經網絡訓練樣本，通過訓練，建立起了能夠實現結構設計變量與動態特性參數之間映射的三層BP神經網絡模型，實現了圓柱正弦活齒減速器結構設計變量與其動態特性參數之間的映射關系。從而建立了多目標優化設計的動態分目標函數；

2.把模糊優化設計成功地應用到了圓柱正弦活齒減速器的優化設計中，充分考慮了約束條件的模糊性，使計算結果與實際結合得更緊密，更具有應用價值，采用最優水平截集進行優化設計，考慮了結構設計參數的各種影響因素，更充分的體現了經濟性；

3.從圓柱正弦活齒減速器的結構及其靜、動態特性出發建立子5個分目標函數，同時考慮強度、剛度及幾何等約束條件，建立圓柱正弦活齒減速器多目標優化設計數學模型。利用灰鉤聚類分析方法，最終得到多目標優化設計的最滿意解。