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第二章  管道穩態裂紋擴展模擬

2.1  斷裂動力學理論簡述

斷裂力學學科的先導者是A.A.Griffith，他在1920年首先提出將裂紋臨界擴展的判據與裂紋的長度定量地聯系在一起，建立起脆斷理論的基本框架。斷裂力學的蓬勃發展則以1948年Irwin和Orowan分別獨立建立的工程材料脆性斷裂理論為標志。

作為斷裂力學的一個重要分支，斷裂動力學誕生的標志是1948年英國物理學家N.F.Mott在Griffith理論中考慮動能的影響后所發表的論文。1951年印度女科學家Elizabeth Yoffe最早給出了運動Griffith裂紋的解析解。然而斷裂動力學中最重要基本概念的提出，系統分析方法的形成，以及相對成熟的實驗研究方法的建立，是20世紀80年代以來的研究成果。本文的主旨是用數值模擬和實驗方法解決管道動態斷裂評估問題。

2.1.1  靜止裂紋與動態擴展

斷裂力學認為在結構中不可避免有類似裂紋的缺陷存在。在小變形、低能量耗散的情況下，可看作脆性斷裂；對于大變形、高能量耗散的情況則按延性斷裂來處理。受應力集中影響，除去理想脆性材料外，外加載荷在裂紋尖端附近均伴隨非彈性區。若該區域尺寸與其他特征尺寸相比為小量，則可以用線彈性斷裂力學處理。裂紋根據加載方式的不同可分為三種模型：張開模式（I型）；滑開模式（Ⅱ型）；撕開模式（Ⅲ型）。本文討論的范圍限于I型裂紋。

在斷裂力學中，定義引起裂紋產生單位長度的擴展所需要的能量為裂紋驅動力G。在平面問題中，G與應力強度因子K_c的關系可以表達為：

對于平面應力問題，E′=E；對于平面應變問題，E′=E/（1-v²）。其中，E是材料的楊氏模量，v為泊松比。

斷裂動力學（FractUre Dynamics）也叫做動態斷裂力學（Dynamic Fracture Mechanics)，其目的是研究那些慣性效應不能忽略的斷裂力學問題。這些問題主要歸納為兩大類：一是裂紋穩定而外力隨時間迅速變化，如振動、沖擊、波動等：二是外力恒定或緩漫變化而裂紋發生快速傳播。這兩類斷裂動力學的問題分別稱為裂紋動態起始問題和運動裂紋問題。

運動裂紋問題從現象上看可以分為前期加速，擴展軌跡，擴展速度，分叉和止裂幾方面問題。本文研究裂紋從快速擴展開始直至止裂的過程。

2.1.2  裂紋擴展的極限速度

輸氣管道上的脆性裂紋擴展速度曾經達到過10³m/s的量級。通過改善鋼材韌性，降低韌脆轉換溫度等辦法，裂紋擴展的主要形式由脆性斷裂轉化為延性斷裂，裂紋擴展速度也有大幅度的下降。伴隨著超高壓管道上的裂紋擴展，近年來的實測速度又有上升。

對于本文的裂紋動態模擬和止裂評估，裂紋擴展速度是關鍵變化量。那么裂紋擴展存在極限速度嗎？如果存在，如何量化？本小節旨在探討這方面的內容。尤其針對輸氣管道上的應用，文中給出了大致的估算。

1948年Mott認為快速裂紋擴展過程中的動能作用不可忽略。考慮無窮大彈性板中的裂紋擴展，加入動能項的能量平衡方程為：

式中a為半個裂紋長度，U為彈性應變能，K為動能，Γ為表面能。

在推導動能表達式的過程中，Mott引入以下假定:

●圍繞裂紋尖端區域的應力場、位移場，可由靜態彈性理論確定；

●裂紋擴展速度遠小于柱形桿縱波速度C_o=；

●裂紋擴展阻力不隨裂紋速度變化而改變。

在上述假定的前提下，得到無限大彈性板中的動能表達式:

式中k是待定的比例系數，p為密度，v為裂紋擴展速率，σ為無窮遠處承受的均勻拉伸應力，E為材料的楊氏模量。

對于無限大板中的裂紋而言，應變能U和表面能Γ的表達式同靜態情況相比沒有形式上的改變。將三種能量的表達式代入能量平衡方程（2-2)，可得：

將單位面積的表面能γ用表示為臨界裂紋長度a_c的形式，經過Berry等人的修正，得到裂紋速度的表達式:

Roberts(1954）用數值方法計算了泊松比v=0.25時的系數＝0.38,從而得到鋼材中的極限裂速v_m≈1929m/s。

在雙懸臂梁DCB(double-Cantilever-Beam）試樣中測到的結果比上述值略低，約為1500m/s。

Freund(1972）通過分析推導，認為裂紋的極限裂速v_m，應該等于Rayleigh波速C_R。按此方法估算，v=0.25時鋼材中的極限裂速v_m=294m/s。

根據Rice(2000）通過奇異裂紋模型做出的最新論斷，在典型的遠場加載條件下，在I型和Ⅱ型時的極限速度為Rayleigh波速，而在Ⅲ型時的極限速度可達橫波波速，對鋼材而言約3100m/s。

Rice總結了I型拉伸裂紋的實驗觀測結果，發現:

●在脆性非晶態材料（如玻璃、PMMA）中，裂紋速度的上限為0.55C_R～0.65C_R;

●裂紋速度v<0.3C_R～0.4C_R時，斷裂面呈鏡面光滑狀。在更高（平均）速度時，裂紋表面變得非常粗糙，并且v開始劇烈振蕩；

●存在v接近于CR的例外情況，如高度各向異性的脆性單晶（鎢、云母）,及不完全燒結的固體。

這一結果同鋼材斷裂從DBF到DDF的發展過程中，實測速度與斷口形貌的變化趨勢相吻合。簡單的說，就是韌性提高可以導致斷裂的極限速度降低。

壓力管道的裂紋擴展與無限大彈性板不同，Kanninen等（1980）利用類似一維梁的模型提出了輸氣管道中的裂紋擴展極限速度的估算值。模型中采用彈性基礎梁的撓度模擬在對稱載荷作用下圓柱殼的變形，并作了以下基本假設：

●以徑向變形為主；

●壓力沿圓周的變化可以忽略不計；

●裂紋張開位移等于在裂紋區任何截面徑向位移沿圓周的積分；

●塑性屈服鉸在裂尖后部形成；

●裂紋擴展速度超過流體降壓速度，擴展中裂尖后面的壓力為零；

●由于裂紋出現導致殼體剛度突變。

得到管道裂紋的極限速度：

式中C₀為柱形桿縱波波速，鋼材約5076m/s,h和R為管道壁厚和平均半徑。按此式估算的西氣東輸管道上裂紋擴展的極限速度約為648m/s。

對于裂紋在脆性管道中的快速擴展，在全尺寸實驗中可觀察到的裂速范圍為600～1000m/s，考慮到不同的設計參數，與上述預測比較接近；全尺寸實驗在近年來應用的高韌性管線中觀測到的裂紋穩態擴展速度一般在150～350m/s,近似可以看作脆性斷裂速度的1/3，即：

在Kanninen之后，Emery（1950）提出，盡管裂紋的起裂和小范圍擴展可由系統的降壓值作為上限而加以估算，但開裂管道中的裂紋擴展卻受到流體外流引起的壓力降低的強烈影響。在幾何尺寸一定的條件下，由管道斷裂引起的壓力釋放波可以由遠端反射回來，從而增加了裂尖處的管道壓力：同時張開裂紋的自由邊，卻承受一個顯著減少的壓力，致使裂紋擴展減速。因此，為了解裂紋的動力學特征，必須考慮管道變形及流體壓力。

在Emery的圓柱殼模型下，極限裂紋擴展速度比（2-6）式略低。

2.1.3  動態斷裂力學參數

斷裂動力學理論為結構動態斷裂的分析與控制奠定了理論基礎，并為其在工程應用方面提供了重要的概念、分析方法、結構參數計算和動態斷裂準則。基本概念可以歸納為三個方面：描述動態斷裂的特征參數、材料的動態斷裂韌性和運動裂紋的止裂判據。接下來對上述三方面問題，尤其是對于和管道問題相關的概念，加以闡述和介紹，以備后文直接引用。

本節的討論范圍限于I型裂紋快速擴展問題，主要目的是給出與斷裂力學參數相應的動態應力強度因子、動態能量釋放率和裂紋尖端張開角的表達式。

2.1.3.1  動態應力強度因子

I型動態應力強度因子(t）的定義為：

式中t為時間，a_yy為y向正應力分量。

自Yoffe（1951)開始，包括Rice(1968)、Freund(1990)在內的很多學者推導并不斷完善了無限大板等簡單模型的以(t）表示的穩態擴展的裂紋頂端漸進應力場和位移場的解析解，Nishioka等（1996）進而給出了包括瞬態情況下的四階漸進展開式，在此不做贅述。

這樣只要得到(t）的值，就可以按照上述文獻中的公式得到裂紋尖端場的解析解。目前除對于無限介質中的穩態擴展裂紋，通過適當簡化可以得到應力強度因子的解析表達式以外，有限介質及構件中運動裂紋的動態應力強度因子的計算主要依靠數值方法，包括有限元法和有限差分法。

本文研究的高韌性鋼為彈塑性材料，在裂紋擴展前，往往在裂端區甚至更大范圍內有相當大的塑性變形，且伴隨著裂端后面的卸載。因此，起裂后必須克服塑性變形才能發生裂紋擴展。此時，作為衡量裂端區應力場強度的力學參量J積分和應力強度因子K并不是嚴格有效的。Kanninen提出了更先進的J積分-T積分，適合應用于在彈塑性材料中的動態裂紋擴展分析。

2.1.3.2  動態能量釋放率

對含運動裂紋的一般彈性體，為確定釋放到裂尖的能量，考慮圍繞裂尖非常小的閉合回路Γ，如圖2-1所示，動態能量釋放率可以由能量流動定義為：

式中v_n表示裂紋尖端運動速度在回路Γ上的法向分量，v為裂尖速率，T_i為作用于Γ上的應力分量，W為應變能密度，p為物質密度。

這里Γ的形狀是任意的，但必須附著于裂尖的運動坐標系。這個表達式對線性與非線性的材料均適用。

在裂紋穩態擴展的條件下， （t）退化為斷裂力學中的動態J積分，是與路徑無關的量：

對于無限介質而言，（t）和（t）都可以寫成與裂紋速度有關的函數與靜態因子乘積的形式：

（t）=k（v）K（0）               （t）=g（v）G（0）     （2-9）

將用動態應力強度因子表示的無限大平面彈性體應力場和位移場的表達式代入動態能量釋放率的定義式，可得二者之間的對應關系：

式中F（v）可以表示為裂尖速率v與材料平面縱波波速C₁及平面橫波波速C₂的函數，E是材料的楊氏模量，v為泊松比。

(2-10)式意味著（t）和（t）同時達到臨界值。也就是說，動態擴展斷裂判據既可用臨界應力強度因子，也可用臨界能量釋放率來表示。這是對線彈性材料、恒定裂速擴展的裂紋在無限大彈性體中得出的結論，可以定性地推廣到一般問題中使用。

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